42．关于水流采煤问题

题目

使用高压水流正对着煤层冲击，可以剥离煤层，这是一种采煤的方式。如果某水流的采煤工作面是竖直平面，使用的水流速度为 v，水流横截面积为 S，水的密度为 ρ。求：

（1）煤层对水流做功的功率。

（2）水流对煤层的作用力的大小。

原解答

（1）选取长度为 vt 的一段水柱为研究对象，它的质量 m = ρSvt，它在未接触煤层之前的动能 E_k1 = \(\dfrac{1}{2}\)mv² = \(\dfrac{1}{2}\)ρSv³t，接触煤层之后的动能立即减为 0。

根据动能定理，煤层对这段水流做的功 W = ΔE_k = \(\dfrac{1}{2}\)ρSv³t，做功的功率

\[P = \frac{W}{t} = \frac{1}{2}\rho S{v^3}\]

（2）根据动能定理和功的定义，有 W = ΔE_k 及 W = F·Δx，因此

\[F = \frac{W}{{\Delta x}} = \frac{{\frac{1}{2}\rho S{v^3}}}{{vt}} = \frac{1}{2}\rho S{v^2}\]

商榷和建议

严格地说，本题对高中学生来说有“超纲”的嫌疑。首先，高中讲的动能定理，是对质点而言的，而本题中的研究对象——一段流动的水柱，未接触到煤层之前整体做匀速运动，看作质点是可以的，但在与煤层接触的过程中，它的形状完全改变，不能再看作质点。其次，在中学阶段，凡未指明参考系的，都以地面为参考系。如果以地面为参考系，水流对煤层的作用力的作用点没有位移，因此不做功。而煤层对水流的作用力的受力对象是一段流动的水柱，该力做功怎么计算，其实并未讲过。当然，改为相对地面以速度 v（水流的速度）匀速运动的水流为参考系，则煤层对水流的作用力的作用点是有位移的，因此是做功的，它对长度为 vt 的水柱做的总功等于 W = ΔE_k = \(\dfrac{1}{2}\)ρSv³t，但这些都有“超纲”的嫌疑。

对于本题的第（1）问，虽有“超纲”嫌疑，但学生尚能接受，也说不上存在科学性问题。最值得商榷的是第（2）问。

对于第（2）问，还有另外一种解法：根据动量定理，I = Δp，仍以长度为 vt 的水柱为研究对象，煤层对这段水柱的冲量 I = Δp = ρSv²t，而 I = Ft，因此，煤层对水柱的作用力

\[F = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}} = \rho S{v^2}\]

对比两种方法的结果，发现正好相差一半。为什么会有两种不同的结果？

如果煤层对水流的作用力是变力，那么利用动量定理求出的是对时间的平均值，而利用动能定理求出的是对空间位置的平均值，二者不相同是合理的，但这个问题中煤层对水流的作用力不是变力，而是恒力，二者不应该不相同。

根据什么知道煤层对水流的作用力是恒力呢？这可以从微观角度进行解释：由于水流是匀速稳定流动的，煤层在相同的时间段内接触到的水分子数量是一定的，而且每个水分子的动量或动能变化也都是相同的（从宏观上说），因此煤层对水流的作用力是恒力。对于恒力来说，无论利用动量定理还是动能定理求出的结果一定相同，但现在不相同，这说明至少有一个结果是错误的。

那么哪个结果是正确的呢？答案是利用动量定理求出的结果是正确的，而利用动能定理求出的是错误的。因为我们在利用动量定理或动能定理求解的过程中，都是把这段水柱当作质量集中于质心处的质点来处理的。如图 1 所示，表示这段水柱前端刚接触煤层的瞬间，其质心位于距离煤层 \(\dfrac{1}{2}\)vt 处，图 2 表示这段水柱全部被煤层挡住，速度降为零，而后在重力的作用下沿煤层向下方流走了，质心与煤层接触。水柱向煤层移动的速度是 v，但质心向煤层移动的速度是 \(\dfrac{1}{2}\)v，应用动量定理求解时，这个过程用时为 t，求作用力时的公式是 F = \(\dfrac{{\Delta p}}{{\Delta t}}\)，结果正确。而用动能定理求解时用的公式是 F = \(\dfrac{{\Delta {E_{\rm{k}}}}}{{\Delta x}}\)，其中的 Δx 是质心 C 从 \(\dfrac{1}{2}\)vt 处移动到煤层处的位移，即 Δx = \(\dfrac{1}{2}\)vt，前面解答过程中误认为 Δx = vt，因此得出了错误的结果。

本题的命题者不知是有意还是无意，把第（1）问设为求做的功（求功率需先求功），而后第（2）问再求作用力的大小，这就是在误导学生用动能定理求解。

凡是求平均力等平均值的问题，由于没有指明是对什么的平均，就默认是对时间的平均而不是对空间的平均，这类问题可以用动量定理求解而不能用动能定理求解。对于基础较好的学生，教师应该把易产生误区的地方讲清楚。如果学生的基础不是很好，教师也认为没有必要占用更多时间去区分这两种平均值，就应该在设问时考虑到学生的基础，先让学生求某段时间力的冲量，而后再求平均力，不要像此题一样误导学生犯错误且不加纠正。

发布时间：2026/10/27 20:03:51  阅读次数：13