40．关于汽车的额定功率（一）

题目

一辆汽车的质量 m = 2.5 t，发动机输出的额定功率 P = 75 kW，在水平直公路上行驶时受到的阻力 f = 2 500 N 并保持不变。它从静止开始运动，其速度 v 随时间 t 的变化关系大致如图1所示。初始阶段，即从 t = 0 到 t = t₁，汽车做匀加速运动，加速度大小  a = 2.0 m/s²，直到发动机的输出功率达到额定功率 P 时为止，此时速度大小为 v₁，此后保持发动机的额定功率 P 不变，做变加速运动，至 t = t₂ 时，速度达到 v₂，再往后则做匀速运动。

（1）求速度 v₁ 和 v₂ 的大小。

（2）如果速度从 v₁ 增加到 v₂ 用时 Δt = t₂ − t₁ = 500 s，求 Δt 这段时间内汽车位移的大小。

原解答

（1）汽车在做匀速直线运动时，受力平衡，因此有 \(\dfrac{P}{{{v_2}}}\) = f，则

\[{v_2} = \frac{P}{f} = \frac{{75000}}{{2500}}\;{\rm{m/s}} = 30\;{\rm{m/s}}\]

在 t₁ 时刻，功率达到额定功率 P，根据牛顿第二定律有 − f = ma，则

\[{v_1} = \frac{P}{{f + ma}} = \frac{{75000}}{{2500 + 2500 \times 2}}\;{\rm{m/s}} = 10\;{\rm{m/s}}\]

（2）根据功能关系，在 Δt 时间段内，发动机做的正功等于汽车动能的增量与克服阻力做功之和，即 P·Δt = ΔE_k + f·Δx，则 Δt 时间段的位移

\[\Delta x = \frac{{P\Delta t - \Delta {E_{\rm{k}}}}}{f} = \frac{{75000 \times 500 - \frac{1}{2} \times 2500 \times ({{30}^2} - {{10}^2})}}{{2500}}\;{\rm{m}} = 14600\;{\rm{m}}\]

商榷和建议

本题的题目及解答看来都没有问题，但仍有人质疑，认为问题不是出自解题者，而是出自命题者。我们把如图 1 所示的示意图重新画一遍，如图 2 所示，在图中连接 A、B 画一条直的虚线，如果汽车在这段时间内做匀加速运动，则其 v–t 图线就是这条虚线，实际的图线是虚线上面的那条曲线，它的斜率逐渐变小，最后变为零，这说明它的加速度从开始时的 a 逐渐变小，最后减为零，由于这段时间内有一个不变量——额定功率 P，因此这条曲线不是随便画出来的，而是有其自己的规律。从 t₁ 到 t₂，这段时间 Δt 的数值不是可以随意给定的。

本题在题干中给出的条件包括汽车的质量 m、阻力 f、额定功率 P 以及开始阶段的加速度 a，这些条件对于后面的两问都适用，而在第（2）问中又给出了一个条件，即从速度 v₁ 到速度 v₂ 做变加速运动所用的时间 Δt = 500 s，第（2）问的解答必须用到这个条件。值得商榷的问题是：当 Δt = 500 s，求出的位移 Δx = 14 600 m，如果给出的 Δt 是其他教值，则计算出的 Δx 的数值就会不同，表1列出了一系列时间 Δt 与相应的位移 Δx 的数值。

不难看出，给出的 Δt 的数值不同，求出的 Δx 的数值也不同，是不是本题的第（2）问可以给出无穷多个 Δt 的数值，从而有无穷多组 Δx 的解，它们都可以满足题设的基本条件，都是正确的呢？抑或只有其中的某组或某几组数据是符合实际的、是正确的，而其余的则是不正确的呢？

真正的 Δt 应该如何计算呢？由于这段时间内汽车受到的合力不是恒力而是变力，计算需要用到高等数学知识，下面给出它的解答过程。

在 Δt 时间段内，发动机输出的功率恒定，等于 P，它对汽车的驱动力为 F_驱动 = \(\dfrac{P}{v}\)，这里的速度 v 是时间t的函数，因此 F_驱动 是变力。根据牛顿第二定律，有 ma = \(\dfrac{P}{v}\) − f，而 a = \(\dfrac{{{\rm{d}}v}}{{{\rm{d}}t}}\)，上式即为

\[m\frac{{{\rm{d}}v}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{P}{v} - f\tag{1}\]

把上式变形并分离变量，得到

\[m\frac{{v{\rm{d}}v}}{{P - fv}} = {\rm{d}}t\]

两边积分即可求出时间 Δt，即

\[m\int_{{t_1}}^{{t_2}} {\frac{{v{\rm{d}}v}}{{P - fv}}}  = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {{\rm{d}}t} \]

查积分表，得到

\[m\frac{1}{{{f^2}}}\left[ {P - fv - P\ln (P - fv)} \right]\left| {_{{v_1}}^{{v_2}}} \right. = \Delta t\]

①式是牛顿第二定律，①式右边的（\(\dfrac{P}{v}\) − f）是合力，左边即为 ma，加速度 a = \(\dfrac{{{\rm{d}}v}}{{{\rm{d}}t}}\)。由于速度 v 是时间t的函数，需要用积分求解，经过分离变量并查积分表可得到上面的②式。

当我们代入积分上限时出现了问题：由于（P − fv₂）=（75 000 − 2 500×30）= 0，而 ln 0 是没有意义的，因此无法继续进行。为什么会出现这种情况？让我们再看看图 2，A、B 间那条曲线是这段时间内速度 v 随时间 t 变化的图像，它的末段接近一条水平线，表示发动机的驱动力的大小已经很接近受到的阻力，因此它的加速度很小，如果已经小到可以认为是“无穷小”，那么再经过一段“有限”的时间，其速度也不能真正达到 v₂，因此这条曲线的末段是一条“渐近线”，理论上需要经过“无限长”的时间才能真正达到 v₂。

根据上面的②式计算 Δt 时，可以用稍小于 v₂ 的 v₂ʹ 代替 v₂，使得 P − fv₂ʹ = 1，则 ln（P − fv₂ʹ）= 0，从而②式可解，代入数值解得 Δt = 324.6 s。

那么，这个解是否可以认为是正确的解答呢？是可以的！因为当 P − fv₂ʹ = 1时，v₂ʹ = 29.999 6 m/s，它已经非常接近 30 m/s。前面说的加速度的“无限小”，所需时间的“无限长”，都是理论上的，实际上，汽车的速度是否达到 v₂，是通过汽车内部的速度表或外部的速度检测仪测量得出的，而任何一个速度表或速度检测仪都有其精度，或者说任何一个仪器的测量值都存在误差，在实际中要“真正达到 v₂”并不真的需要“无限长”时间。为了进一步说明这个问题，我们把速度从 v₁ = 10 m/s 开始并保持额定功率不变的情况下做变加速运动过程中的几个不同的末速度 v₂ 的值和通过前面的②式计算出所用的时间 Δt 的值，记录在表2 中。

可以看出，如图 2 所示的 A、B 间的曲线，前面一段速度变化很快，例如从开始的 10 m/s 变到 20 m/s，用时仅为 10.8 s，平均加速度为 0.93 m/s²。往后速度变化越来越慢。例如，从 29.9 m/s 变到 29.999 6 m/s，用时为 184.7 s，平均加速度为 5.4×10⁻⁴ m/s²；再从 29.999 6 m/s 变到 29.999 96 m/s，速度只增加 0.000 36 m/s，用时为 69.1 s，平均加速度为 5.2×10⁻⁶ m/s²。这就清楚地表明，图 2 中 AB 段的这条曲线确是一条“渐近线”，它逐渐逼近 v₂ = 30 m/s 那条水平线，它的终点 B 到底在哪里是很难确定的，也就是说，Δt 的准确数值是很难确定的，在精确度要求不高的情况下，29.9 m/s 已经可以认为很接近 30 m/s 了，因此认为 Δt =140 s 也是可以的。要求越精确，速度就要越接近 30 m/s，而需要的时间 Δt 就越长，当 Δt 等于 300 多秒时，运动就已经很接近匀速运动了。

最后再重新审视一下表 1 中给出的 Δt 的数值，第一栏 Δt = 50 s 是绝对不可以的，因为当 Δt = 50 s 时速度还不到 29 m/s，不能认为从此时开始做匀速运动；第二栏 Δt = 100 s，速度已经超过 29 m/s，在要求不高的情况下，可认为从此时开始汽车做匀速运动；第三栏 Δt = 200 s，速度已经超过 29.9 m/s，完全可以认为汽车从此时开始做匀速运动了；第四栏 Δt = 300 s，第五栏 Δt = 400 s，也都可以。最后两栏，从理论上说是在精度要求很高的情况下，速度非常接近 30 m/s 时所需的时间值，不能说错误，但从实际来讲数值偏大了。

对于本题，命题者必须事先经过积分计算，算出在保持发动机的功率不变的条件下，速度从 v₁ 增加到做匀速运动的速度 v₂ 所需时间 Δt 的大概数值，再给出具体的Δt的值，注意给出的数值不能太离谱。

发布时间：2026/10/23 21:32:01  阅读次数：53