39．关于重锤陷入沙坑中

题目

一个如图 1（a）所示的质量为 m = 10 kg 的圆锥形重锤从沙坑上方自由下落，经过 h₁ = 1.0 m 距离后到达沙坑的水平表面，陷入沙坑的深度为 h₂ = 0.2 m 时静止，如图1（b）所示，取 g = 10 m/s²。

（1）求沙坑对该重锤的平均作用力。

（2）能否求出重锤整个运动过程的时间？如果能，请把它求出来。

原解答

（1）以重锤为研究对象，它的运动是平动，各点的运动情况相同，因此可以把它看作一个质点。

根据质点的动能定理，外力对重锤做的总功等于其动能的增量。重锤的初状态动能为零，末状态动能也为零，因此整个过程中外力对它做的总功等于零。其中重力为恒力，重力做的功为正功，其大小 W_重力 = mg（h₁ + h₂）；沙坑对它的作用力方向向上，是变力，做的是负功，其绝对值为 W_弹力 = \({\bar F}\)·h₂，式中 为沙坑对重锤的平均作用力。

总功为零，即

\[mg({h_1} + {h_2}) = \bar F{h_2}\]

解得

\[mg({h_1} + {h_2}) = \bar F{h_2}\]

代入数据得到 \({\bar F}\) = 600 N。

（2）可以求出运动时间。上面解得的 是沙坑对重锤的作用力的平均值，用它代替重锤受到沙坑给予的变力，效果应该相同。

重锤在与沙坑接触后的运动过程中，产生的加速度

\[a = \frac{{\bar F - mg}}{m} = g\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}} = 5g = 50 \;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\]

把重锤的整个运动过程分为两段，第一段是在空中下落的过程，为匀加速运动，加速度大小为 g，第二段是与沙坑接触后的运动，为匀减速运动，其加速度大小为 a = 5g。

那么，这两段过程经历的时间之比为 Δt₁∶Δt₂ = a∶g = h₁∶h₂。

其中，Δt₁ = \(\sqrt {\dfrac{{2{h_1}}}{g}} \)，这是根据自由落体运动的位移公式求出来的。

则

\[\Delta {t_2} = \Delta {t_1} \cdot \frac{{{h_2}}}{{{h_1}}} = \frac{{{h_2}}}{{{h_1}}} \cdot \sqrt {\frac{{2{h_1}}}{g}} \]

重锤运动的总时间 Δt = Δt₁ + Δt₂ = （h₁ + h₂）·\(\sqrt {\dfrac{2}{{g{h_1}}}} \)。代入数据解得 Δt = 1.2\(\sqrt {0.2} \) s = 0.54 s

商榷和建议

本题第（1）问的解答正确，得到的是沙坑对重锤的作用力的平均值。这是根据动能定理得到的结果，这个平均作用力不是对时间的平均而是对位移的平均。用这个平均作用力代替原来的变力效果相同，这里的“效果”指的是做功的效果，即沙坑对重锤的变力所做的功与这个平均作用力对重锤所做的功相等，但不是所有的效果都相同。

如果本题给出的已知条件不是重锤陷入沙坑的深度值（即为重锤与沙坑接触后的位移值），而是所用的时间 Δt₂，则可以采用另一个思路解决问题。

已知重锤初状态速度为零，末状态速度也为零，根据质点的动量定理，外力的冲量的矢量和等于它的动量的增量。其中重力 mg 是恒力，它的冲量方向向下，大小为 I_重力 = mg·Δt₁；沙坑对它的作用力方向向上，是变力，它的大小应与 I_重力 大小相等，即 \({\bar F}\)ʹ·Δt₂ = mg·Δt₁，得到 \({\bar F}\)ʹ = mg·\(\dfrac{{\Delta {t_1}}}{{\Delta {t_2}}}\)。

这里得到的 \({\bar F}\)ʹ 与前面的 \({\bar F}\) 都是平均力，但意义不同，前者是根据动量定理得到的，是对时间的平均力，后者则是根据动能定理得到的，是对位移的平均力。用 \({\bar F}\)ʹ 代替原来的变力，效果相同是指力的冲量相同，从而受力物体的动量变化相同；用 \({\bar F}\) 代替原来的变力，效果相同是指做的功相同，从而受力物体的动能变化相同。

原第（2）问的解答犯的错误是混淆了这两种平均力，误以为用任何一种平均力代替原来的变力，效果都相同。因此本题的第（2）问的解答错误，正确答案应该是：不能根据题目的已知条件求出重锤的运动时间。

变力是物体在运动过程中受到的变化的外力，但该力按照什么规律变化，却是很复杂的问题，下面我们具体分析本题的情况。重锤陷入沙坑中，要把沙子向周围推开，从而受到沙子给予的阻力，该阻力的大小至少与重锤和沙子接触的侧面积的大小有关。从重锤与沙坑表面接触开始，位移每增大为原来的 2 倍，重锤与沙子接触的侧面积就增加为原来的4倍，则阻力至少增加为原来的4倍。

下面我们大致画出重锤从下落开始直到陷入沙坑中的受力情况与位移关系的图像，如图 2 所示。以重锤开始下落的位置 O 为原点，以竖直向下为正方向建立直线坐标系，A 点是沙坑表面，B 点是重锤下落的最低点。直线CE表示重力 mg，它是恒力，作用于从 O 点经过 A 点再到 B 点的整个过程，曲线 AG 表示沙坑对重锤的阻力，它是变力，但我们并不清楚它的变化规律，因此只是示意性地画出一条曲线。矩形 OCEB 的“面积”与多边形 ABG 的“面积”大小相等，都表示力做的功，正功与负功的绝对值相等，总功为零，表示初动能与末动能都等于零，没有动能的增量。

图 3 是在图 2 的基础上增加了一条水平虚线 PQ，它表示用一个恒力代替原来的变力（即曲线 AG 所示的沙坑的阻力），二者效果相同，即矩形 ABQP 的“面积”与多边形 ABG 的“面积”相等，即力所做的功相等，也就是说，图中画有细斜线的区域的“面积”与画有细水平线的区域的“面积”相等。水平虚线 PQ 的具体位置（即这个平均力的大小）可以根据动能定理求出，但它是对位移的平均值，而不是对时间的平均值，因此不能用它求平均加速度，也就不能求出从 A 到 B 所需的时间。

对于“平均力”这个概念，不应该马马虎虎对待。我们平常说的“平均力”，指的是对时间的平均值，根据动量定理求出的平均力，就是对时间的平均值。但根据动能定理求出的平均力，却是对位移的平均值，两种“平均力”的意义不同，因此不能混淆。学生对此常常搞不清楚，但作为教师必须明白，因此在选用例题以及在出题考查学生时，必须谨慎，关于对时间的平均值，一般可以省略“对时间”三个字，但关于对位移的平均值，则不可省略“对位移”三个字。

发布时间：2026/10/21 20:02:40  阅读次数：26