36．关于摩擦力做功

题目

一个水平放置的圆盘，原处于静止状态。一个质量为 m 的小物块A放在距离转轴中心 r 处，如图 1 所示。已知物块 A 与盘面间的最大静摩擦力等于自身所受重力的 k 倍。现使圆盘开始加速转动，求物块 A 开始在圆盘上滑动时的动能。（重力加速度为 g）

原解答

圆盘开始转动后，物块随圆盘的转动而做圆周运动，物块与圆盘间的静摩擦力提供了物块做圆周运动所需的向心力。当圆盘加速到物块A刚开始在圆盘上滑动时，表示物块 A 受到的静摩擦力达到了最大值，即

\[f = kmg\tag{1}\]

根据向心力公式，有

\[kmg = m\frac{{{v^2}}}{r}\tag{2}\]

联立上面二式，解得

\[{E_{\rm{k}}} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}kmgr\]

商榷和建议

本题的解答似乎很完美，有理有据，学生接受起来没有困难。但值得商榷的问题也就隐藏在这里面。

原解答中有表述“物块随圆盘的转动而做圆周运动，物块与圆盘间的静摩擦力提供了物块做圆周运动所需的向心力”。这句话的前面半句是要说明物块做的是圆周运动，那么应该首先说明该物块可以看作质点。物块本身是有大小的，它靠近转轴的一侧转动半径较小，而靠外的一侧转动半径较大，即物块各部分的运动情况并不相同，但题目指明“小物块”，暗示物块本身的大小相比它离转轴的距离可以忽略，因此可以近似把它看作质点，这样才能说它在做圆周运动。这句话的主要问题在后面半句只对做匀速圆周运动的质点适用，而本题中的圆盘是从静止开始加速转动的，也就是说，随它转动的小物块做的是速度逐渐增加的圆周运动，而不是匀速圆周运动。

对于做加速圆周运动的质点来说，它除了要受到指向圆心的向心力以外，还必须受到与速度方向一致的使它速度增加的力，这个力的方向沿圆周切线方向，称为切向力。图 2 示意性地画出小物块受到的这两个分力 F_向心 和 F_切，它们的合力就是小物块受到的圆盘给的静摩擦力 f_静。这就是说，对于做加速圆周运动的小物块来说，圆盘受到的向心力并不是静摩擦力本身，而是静摩擦力的指向圆心的分力。

在刚开始转动的阶段，圆盘转动的角速度还比较小，小物块A所需的向心力 F_向心 也比较小，f_静 的方向与指向圆心的半径方向相差很大，随着转动角速度增大，F_向心 也随之增大，f_静 与 F_向心 间的夹角逐渐变小，但只要圆盘在继续加速转动，f_静 与 F_向心 间就不可能完全重合。

具体到公式的应用，解答中的②式只对匀速圆周运动适用，而对非匀速圆周运动不适用。不分析物理过程，不看条件而乱套公式，是学生学习物理过程中最爱犯的毛病，因此本题的解答恰恰是助长了这种乱套公式的歪风，不是培养高素质人才的初衷。

建议在题目中加上“设圆盘从静止开始很缓慢地加速转动”“求物块A开始在圆盘上滑动时物块可能得到的动能最大值”。由于是“很缓慢地加速转动”，物块的运动可以近似地看作匀速圆周运动，加速得越缓慢（即角加速度越小）就越接近匀速圆周运动，物体最后得到的动能就越大，其极限就是“物块可能得到的动能最大值”，这样就可以得到上述的答案了。

发布时间：2026/10/13 7:36:34  阅读次数：57