28．关于圆周运动的快慢

题目

图 1 是某高层建筑顶层旋转餐厅的一角，在此就餐可以在品尝美食的同时欣赏城市的美景。有兄妹二人来此就餐，哥哥让妹妹挑选座位，妹妹说：“我要坐靠里边的座位，靠边缘的座位运动快，我有点儿怕。”哥哥说：“随你，但你说边缘的座位运动快，这不符合实际，里面的座位转一圈，外边的座位也转一圈，其实运动得一样快。”

对他们二人的说法，你怎么看？

原解答

妹妹说“靠边缘的座位运动快”，指的是线速度不同；哥哥说“里面的座位转一圈，外边的座位也转一圈”，说的是角速度相等。线速度和角速度都是描述质点做圆周运动快慢的物理量，因此二人说得都对，只是从不同角度看问题而已。

商榷和建议

妹妹说“靠边缘的座位运动快”，说的是靠边缘的座位线速度较大，而靠里面的座位线速度较小。因为线速度 v、角速度 ω 和转动半径r的关系是 v = ωr，角速度固定时边缘座位的转动半径较大，线速度也较大。哥哥说“里面的座位转一圈，外边的座位也转一圈”，是指整个旋转餐厅在同一个转动平台上，二者的转动周期相等，从而角速度相等。以上的分析都是正确的。

值得商榷之处在于“线速度和角速度都是描述质点做圆周运动快慢的物理量”这句话。学生在高中物理教科书必修第一册的课程学习中已经学过，描述物体运动快慢和方向的物理量是速度，这不仅对直线运动适用，对曲线运动也同样适用。而对圆周运动而言，线速度就是速度，之所以在“速度”二字前面加一个“线”字，是有意与角速度区别。其实，“线速度”省去“线”字，只称“速度”未尝不可，但“角速度”的“角”字绝对不可省去。描述物体做圆周运动快慢的物理量只能是速度，即线速度，而不能是角速度。

那么角速度到底是描述什么的物理量呢？角速度本是描述刚体转动快慢（和方向）的物理量。当一个刚体绕其固定转动轴转动时，其上各点（除轴心外）的速度大小和方向各不相同，而各点都相同的是角速度。角位置、角位移、角速度、角加速度等都是描述刚体转动过程中的运动状态及其变化的物理量，它们与描述质点运动状态及其变化的物理量位置矢量、位移、速度、加速度等对应，前者称为角量，后者称为线量。

下面表格列出描述质点运动的线量与描述刚体转动的角量间的关系：

做圆周运动的质点，常常是转动刚体上的某一小部分，质点的圆周运动也可认为是质点绕圆心的转动，因此也可用角速度等描述，角速度是描述质点转动快慢的物理量，但不能说角速度是描述质点做圆周运动快慢的物理量。

对于做圆周运动的质点，如果选用平面直角坐标系，本来是没有角速度这个概念的，但我们可以建立另外一个坐标系，即平面极坐标系。如图 2 所示，以圆周的圆心为顶点 O，以向右为极轴 Ox 的正方向，建立平面极坐标系，对于平面内任意一点，其位置都可以用两个坐标表示，即极径 ρ 和极角 θ。图 2 中的 P 点，其极径 ρ 为它与原点 O 间的距离，而极角θ则为 OP 与极轴 Ox 间的夹角，以逆时针方向为正方向。

图 2  平面极坐标系

对于确定的圆周运动，用极坐标描述最为方便，因为它的半径确定，即极径 ρ 保持不变，其运动轨迹如图 2 中的虚线所示。这样质点的位置就可以用一个坐标（极角 θ）描述。定义角速度 ω = \(\dfrac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}t}}\)，它的方向根据右手螺旋法则确定，如果是沿逆时针方向转动，则 ω 的方向垂直纸面向外（中学不讲角速度的方向，只讲角速度的大小）。对于半径确定的圆周运动，角速度确实可以表示质点做圆周运动的快慢，但一般来说，半径的大小也是影响质点运动快慢的重要因素，因此不能说“角速度也是描述质点做圆周运动快慢的物理量”，而只能说“角速度是描述质点绕圆心转动快慢的物理量”。

具体到前面的习题，坐在旋转餐厅里的兄妹二人，相当于一个转动刚体上位置不同的两个质点，它们随刚体转动的角速度相同而转动半径不同，因此线速度大小不同。能表示运动快慢的是线速度的大小，角速度相同只表示转动的快慢相同而不表示运动的快慢相同。因此，从物理上讲妹妹的说法正确而哥哥的说法不正确。（但实际上，旋转餐厅转动的角速度很小，虽然坐在靠近边缘的座位处线速度较大，但对人体的影响其实并不大，妹妹的担心是心理上的，而不是生理上的，或者说这种担心是不必要的。）

在讲圆周运动时，必须再次明确描述质点运动快慢和方向的物理量是速度，线速度就是速度。质点做圆周运动，角速度是描述它绕圆心转动快慢的物理量，对于同一个做匀速圆周运动的质点，由于半径保持不变，角速度也可以表示它运动的快慢，但对于不同的质点，角速度只能表示它绕圆心转动的快慢而不能表示它运动的快慢。

发布时间：2026/9/15 7:27:48  阅读次数：30