26．流速不同时的小船过河问题

原标题为：关于一个运动合成的实例

题目

一条河的流水速度 v₁ 与它离河岸的距离 x 成正比，比例系数为 k。一条船在静水中的航速为 v₂，这条船从河岸出发，始终保持船身与河岸垂直，请写出它由岸边到达河中心位置这一段的速率 v 与运动时间 t 的函数关系式。

原解答

把船相对河岸的运动看成下面两个运动的合运动：一个是垂直于河岸方向的匀速运动，速度大小为 v₂；另一个是沿河水流动方向的匀加速运动，速度 v₁ 的大小与它离河岸的距离成正比，即 v₁ = kx，而 x = v₂t，则 v₁ = kv₂t，如图 1 所示。

合速度等于两分速度 v₁ 和 v₂ 的矢量和。它的大小

\[v = \sqrt {v_1^2 + v_2^2}  = \sqrt {{k^2}v_2^2{t^2} + v_2^2}  = {v_2}\sqrt {{k^2}{t^2} + 1} \]

商榷和建议

本题是传统的小船过河问题的变形。传统的小船过河问题，认为河水流动速度与离岸距离无关，即认为河中无论在哪个位置水的流速都相同，这样小船的存在与否都对河水的流动不产生影响。小船可以抽象成一个质点，可以认为小船同时参与两个运动：一个是小船沿河水流动方向的匀速运动；另一个则是小船沿垂直河岸方向的航行，题目告诉我们“船在静水中的航速为 v₂”，即认为小船相对水的运动是匀速运动，速度大小为船在静水中的航速 v₂。二者的合运动则是小船相对河岸，也就是相对她面参考系的运动。

小船同时参与两个匀速直线运动，其合运动仍是匀速直线运动。可能是命题者感觉这样的习题没有新意，想提高习题的难度或增加新鲜感，或培养学生对知识的迁移能力和运用所学知识解决实际问题的能力，于是“创造”了这道题。该题设计的思路是一个垂直河岸的匀速直线运动和一个沿河水流动方向的变速直线运动的合成，得到一条类似平抛物体运动那样的抛物线运动轨迹。

值得商榷的问题首先是：河水的流速与离河岸的距离成正比，即越靠近岸边，水流速越小，而越靠近河流中央水的流速越大。而小船的船身是垂直于河岸的，因此小船从船头往后各部分所处位置的水的流速都不相同，如图 2 所示。这就是说小船各部分受到水的冲击力大小不等，那么小船是否可以保持船身始终与水流方向垂直呢？小船是否还可以作为质点对待呢？

可能有人会辩解说，利用船上的舵等人为因素可以保持船身始终与水流方向垂直。即使是这样，小船对水是否要产生影响呢？当然是有影响的。设水流方向是自左向右的，由于船身始终保持与水流方向垂直，那么船左侧来的水在与船身接触前速度各不相同，它们与船身接触后又将如何？是瞬时变得与船身速度相同，还是要反弹回来？无论是哪种情况，水的速度都要发生改变，改变后的水流还能保持“流速与到岸边的距离成正比”吗？

从联系实际的角度看问题，河中的流水各处速度应该不会完全相同，确实是靠近岸边处流速较慢，而靠近河中心处流速较快。唐代韦应物有一句流传甚广的山水诗，其中有一句“野渡无人舟自横”，荒凉的渡口一只小小的渡船，用一根绳子拴在岸边的树上，晚上无人时，渡船自己横过来。为什么渡船会横过来？显然是因为河水各处的流速不同，靠岸边流速慢而靠中间流速快，小船自然就横过来了。因此，认为河水各处的流速都相等，或者认为河水流速与离岸边的距离成正比，都不是真正的实际情况，而只是一种人为的假定。在中学物理教学中，为了简便，常常作一些人为的假定，但前者更为简单，学生也好接受，而后者则过于理想化，并且往往带来副作用。

退一步讲，如果船真的可以忽略其长度而看作一个质点，船从河岸出发，刚出发时沿河水流动方向的速度为零，它每向前运动一点，速度就要增加一点，即加速度始终不为零，这个加速度是怎样产生的？难道不是河水给予的力的作用吗？河水给予船作用力的同时，船不给河水反作用力吗？船对河水的流动能不造成影响吗？

如果只是想创设一个匀速直线运动和一个初速度为零的匀变速直线运动的合成的问题，建议利用红蜡块在试管中匀速上升的情境，只要用手握试管，使它沿水平方向从静止开始做匀加速直线运动即可。

本题的出现与曾经的流行，反映了一个现实问题：经常有人会“创造”一些新颖的题目，却没有认真思考过它的科学性，常常是真理迈过一步就成了谬误。

发布时间：2026/9/11 19:54:38  阅读次数：37