9．关于速度 v 与位移 x 成正比的假设

题目

做自由落体运动的物体，下落过程中速度是均匀增加的。而速度的均匀增加有两种可能：一种是速度随时间均匀增加，另一种是速度随位移均匀增加。如果速度 v 与位移 x 成正比，将会推导出十分荒谬的结论，试推导并得出这个结论。

原解答

设 v ∝ x，写成等式为 v = kx，其中 k 为常量。

由于初速度为零，那么 0 ~ t₁ 时间段的平均速度 \(\bar v\)_{0 ~ t1} = \(\dfrac{{{v_1}}}{2}\)，位移 x₁ = \(\dfrac{{{v_1}}}{2}\)t₁ = \(\dfrac{{k{x_1}}}{2}\)t₁。

等式两边消去 x₁，得到 t₁ = \(\dfrac{2}{k}\)。

同理，0 ~ t₂ 时间段的平均速度 \(\bar v\)_{0 ~ t2} = \(\dfrac{{{v_2}}}{2}\)，位移 x₂ = \(\dfrac{{{v_2}}}{2}\)t₂ = \(\dfrac{{k{x_2}}}{2}\)t₂。

等式两边消去 x₂，得到 t₂ = \(\dfrac{2}{k}\)。

这个结论说明，无论物体下落的位移是多少，下落所需的时间都是相等的。这就是那个十分荒谬的结论。

商榷和建议

这个结论的确十分荒谬，但这个推导过程更荒谬！

有学生质疑：既然认为速度 v ∝ x，那就是说速度 v 与时间 t 不成正比，或者说速度 v 与时间 t 不是线性关系，那么“平均速度等于始末时刻速度的算术平均值”的结论就不成立，因此前面推导过程中“0 ~ t₁ 时间段的平均速度 \(\bar v\)_{0 ~ t1} = \(\dfrac{{{v_1}}}{2}\)”及“0 ~ t₂ 时间段的平均速度 \(\bar v\)_{0 ~ t2} = \(\dfrac{{{v_2}}}{2}\)”都不成立，因此这个推导过程不可信。

这位学生说得非常有道理。但能有这样的认识，并且敢于大胆说出自己想法的学生实在太少了，绝大多数学生只是静静地听着，他们或者根本不注意推导的过程，只注意最后的结论，或者对平均速度的概念不甚了了，听不出问题来，当然，也有少数学生可能心里有疑问，却没有胆量在公开场合讲出来。

更大的可能是多数学生对平均速度这个物理概念的理解不深刻，他们认为平均速度就一定等于初速度与末速度相加除以 2。下面我们重新把平均速度的概念梳理一遍。

（1）什么是平均速度？

某段时间 Δt 内物体发生的位移是 Δ\(\overrightarrow x \)，则 Δ\(\overrightarrow x \) 与 Δt 之比，称为 Δt 这段时间的平均速度，用公式表示就是 \(\overline {\overrightarrow v }  = \dfrac{{\overrightarrow x }}{{\Delta t}}\)。

（2）平均速度的物理意义

一个物体做变速运动，其速度 v 是时间 t 的函数，记作 v（t），它在 Δt = t₂ – t₁ 时间段内发生的位移为 Δx。如果一个做匀速直线运动的物体，它在同样的时间段 Δt 内，发生的位移也等于 Δx，则它的速度就是变速运动 v（t）在 Δt 时间段内的平均速度。就是说，平均速度与原来 v（t）是等效替代关系。“等效”指的是在相同的时间出内发生的位移相等。

（3）平均速度能粗略地描述物体运动的快慢，只适用于做直线运动且运动方向不发生改变的情况

虽然定义式 \(\overline {\overrightarrow v }  = \dfrac{{\overrightarrow x }}{{\Delta t}}\) 适用于所有的机械运动，但它能粗略地描述物体运动的快慢，却只适用于物体沿同一方向做直线运动的情况。如果物体做的是一般的曲线运动，或者虽然在一条直线上运动但是是往复的，平均速度都不能描述物体这段时间内运动的快慢。前者可以举学生绕操场跑圈的运动为例，如果学生跑了整整一圈回到原地，那么这段过程的位移为零，因此平均速度等于零，但不能说该学生没有运动，即使学生跑的不是整圈，也不能根据位移与时间的比值判定运动的快慢；后者可举弹簧振子的振动为例，如果振子从平衡位置出发，振动半周或一周，平均速度也等于零，同样不能说它没有运动。这一点在前文中讲平均速度时也提到过。

能粗略地描述物体做曲线运动或周期性往复运动的快慢的物理量是平均速率，它的定义是 \(\bar v = \frac{s}{{\Delta t}}\)，式中的 s 是路程而不是位移。平均速率 \(\bar v\) 是标量，而平均速度 \(\overline {\overrightarrow v } \) 则是矢量。

（4）为什么只有在速度 v 与时间 t 具有线性关系的条件下，其平均速度才等于初速度与末速度的算术平均值？

①用解析式分析：设速度 v = v₀ + at（即 v = kt + b，速度 v 与时间 t 是线性关系），当 t = t₁ 时，v₁ = v₀ + at₁，当 t = t₂ 时，v₂ = v₀ + at₂，

从 t₁ 到 t₂ 这段时间内的位移 Δx =（v₀ + at₁）（t₂ – t₁）+ \(\dfrac{1}{2}\)a（t₂ – t₁）²。如果这时间内物体做匀速直线运动，位移大小仍等于 Δx，则速度大小为 v = \(\dfrac{{\Delta x}}{{{t_2} - {t_1}}}\) = （v₀ + at₁）+ \(\dfrac{1}{2}\)a（t₂ – t₁）= \(\dfrac{1}{2}\)（v₁ + v₂），即平均速度等于初速度和末速度的算术平均值。

②用图像分析：某物体做匀变速直线运动，其 v–t 图像如图 1 所示。设 t₁ 时刻速度为 v₁，t₂ 时刻速度为 v₂，其中间时刻 t_中 速度为 。

不难看出，由于 △ACD≌△BCE，梯形 t₁ABt₂ 的面积与矩形 t₁DEt₂ 的面积相等，即两个运动过程在相等时间内的位移相等，其中 \(\bar v\) = \(\dfrac{1}{2}\)（v₁ + v₂）。

显然，速度 v 与时间 t 若不具有线性关系，即物体做的不是匀变速直线运动，则 \(\bar v\) = \(\dfrac{1}{2}\)（v₁ + v₂）不成立！

话题回到本文讨论的那个问题，展示在学生面前的是一个错误的推导过程，运用了一个错误的概念，得出的结论除了干扰学生的思维以外，又有什么意义呢？应该在教学中去除这些干扰因素，真正起到培养和提高学生的核心素养的目的。

发布时间：2026/7/31 12:33:01  阅读次数：32