带电粒子在电场中的偏转交互课件

在平抛运动的基础上，顺便做一个带电粒子在匀强电场中的偏转课件，实现的是沪科版必修三第九章 第五节 带电粒子在电场中的运动中的图 9–41，如下图所示。

做出的成品如下所示：

数据设置

带电粒子在电场中偏转最经典的例子是阴极射线管（CRT 显示器/示波器），用来产生电子束在屏幕上扫描成像。

电子的电量 q = − 1.6×10⁻¹⁹ C，质量 m = 9.1×10⁻³¹ kg，加速电压 1 000 ~ 30 000 V（电视机通常约15 ~ 30 kV，示波器约1 ~ 5 kV）。

一台典型的中档示波器：电子经 U₀ = 2 500 V 电压加速，获得的速度大小 v₀ = \(\sqrt {\frac{{2q{U_0}}}{m}} \) ≈ 2.97×10⁷ m/s ≈ 0.1c。

进入长 L = 2 cm，间距 d = 5 mm 的平行板。偏转电压 U = 50 V。

出射时的竖直速度 v_y = \(\frac{{qUL}}{{md{v_0}}}\) ≈ 1.17×10⁶ m/s，速度偏转角 θ = arctan\(\frac{{{v_y}}}{{{v_0}}}\) ≈ 2.25°；

偏转距离 y = \(\frac{{qU{L^2}}}{{2mdv_0^2}}\) ≈ 0.78 mm。

根据上述数据确定了右侧滑动条的数值范围。电子的质量是 9.1×10⁻³¹ kg，设置为 1×10⁻³⁰ kg，主要是为了人看着方便，计算机计算整数和小数的速度差别应该是很小的。在后台计算相关物理量时没有直接用指数运算，而是先只用系数计算，最后结果才乘以适当的指数，主要目的是避免当数字过小时的可能会出现精度误差，而 JavaScript 中能连续、无间隔表示的小数只在大约 1×10⁻¹⁵ ~ 1×10¹⁵ 之间。

有个小问题，世界上不存在质量为 2m_e、3m_e 基本粒子，最小也有 207 倍，是同属轻子家族的 μ 子。质子的质量是电子的 1 836 倍，偏转量只有电子的 \(\frac{1}{{1\;836}}\)，因此在现实中通常不会用电场而是用磁场使质子偏转。

还有个问题，极板长度和间距不是成比例的，否则就会导致屏幕上间距过小，可视性不佳。极板长度是厘米级的，课件中 1 cm 对应屏幕 350 个像素，间距是毫米级的，1 mm 对应 100 个像素。长度不成比例也会导致速度偏向角 θ 在图上偏大，例如计算值 tanθ = 0.09，实际在屏幕上画出的角度对应 3.5tanθ，不过这反而增加了可视性。

用二次贝塞尔曲线绘制抛物线

在平抛运动课件中使用采样点的方法绘制抛物线，而这个课件使用了贝塞尔曲线的方法。二次贝塞尔曲线可以完美构成“标准”的二次函数形式的有限长抛物线，只需要三个参数：曲线起点、终点、控制点坐标。其中控制点为起点、终点切线的交点。可以证明：若以抛出点为原点，向右为 x 正方向、向下为y正方向，终点横坐标为 x，则切线的交点坐标为（0.5x，0）。可以通过下面的交互程序体会一下控制点的位置。

这个结论物理老师非常熟悉，是平抛运动中的一个二级结论，可以表述为速度反向延长线过水平位移中点，或 tanα = 2tanθ。

上海高考并不出现也不鼓励使用二级结论，在计算题中直接使用二级结论会扣过程分，我表示赞同。根据我的教学经历，给学生讲了上面的二级结论后，他们会神奇地在做每道平抛题时都首先想到这个结论，而把运动的合成分解这个基本且重要的思想抛之脑后。但在图 9–41 中却绘制了速度反向延长线，且标注了点 O，不知这样做的目的何在？

比起采样点的方法，用贝塞尔曲线画抛物线的代码非常短：

let pathData = `M ${screenParams.emitterX} ${screenParams.emitterY} Q ${midPointX} ${screenParams.emitterY} ${parabolaEndX} ${parabolaEndY}`;

完整代码

code

发布时间：2026/1/18 下午12:11:22  阅读次数：192