2.1 矩阵定义

在3D计算机绘图中，我们用矩阵（matrix）来紧凑地描述几何变换，比如缩放、旋转和平移，并将点或向量的坐标从一种坐标系转换到另一种坐标系。本章探讨了矩阵代数。

学习目标：

1．了解矩阵及矩阵运算。

2．了解如何将向量-矩阵乘法视为一个线性组合。

3．学习单位矩阵、转置矩阵、行列式和逆矩阵。

4．熟悉XNA库中的用于矩阵代数的类和函数。

一个m×n矩阵M是一个m行、n列的矩形实数数组。行和列的数量指定了矩阵的维数。矩阵中的数值称为元素。我们使用行和列组成的双下标M_ij来标识矩阵元素，其中，第1个下标指定了元素的所在的行，第2个下标指定了元素所在的列。

例2.1

考虑如下矩阵：

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3.5}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&{0.5}&0\\2&{ - 5}&{\sqrt 2 }&1\end{array}} \right]\)，\({\bf{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{B_{11}}}\\{{B_{21}}}\\{{B_{31}}}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{{B_{12}}}\\{{B_{22}}}\\{{B_{32}}}\end{array}} \right]\)，\({\bf{u}} = \left[ {{u_1},{u_2},{u_3}} \right]\)，\({\bf{v}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\\{\sqrt 3 }\\\pi \end{array}} \right]\)

1．矩阵A是一个4×4矩阵；矩阵B是一个3×2矩阵；矩阵u是一个1×3矩阵；矩阵v是一个4×1矩阵。

2．A₄₂=-5表示矩阵A的第4行、第2列的元素。B₂₁表示矩阵B的第2行、第1列的元素。

3．矩阵u和v是特殊矩阵，因为它们只包含一行或一列。我们有时将这种矩阵称为行向量或列向量，因为它们可以用矩阵的形式表示一个向量（例如，可以随意地将(x,y,z)和[x,y,z]互换使用，这两种记法都可用于表示向量）。注意，对于行向量和列向量，不必使用双下标表示矩阵元素——只用一个下标即可。

有时，我们希望将矩阵的每一行视为一个向量。例如，我们可以这样写：

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{11}}}&{{A_{12}}}&{{A_{13}}}\\{{A_{21}}}&{{A_{22}}}&{{A_{23}}}\\{{A_{31}}}&{{A_{32}}}&{{A_{33}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ \leftarrow {{\bf{A}}_{1,*}} \to }\\{ \leftarrow {{\bf{A}}_{2,*}} \to }\\{ \leftarrow {{\bf{A}}_{3,*}} \to }\end{array}} \right]\]

其中，A_1,∗= [A₁₁,A₁₂,A₁₃]、A_2,∗= [A₂₁,A₂₂,A₂₃ ]、A_3,∗= [A₃₁,A₃₂,A₃₃]。在这种记法中，第1个索引指定行标，第2个索引以星号（*）表示我们引用的是整个行向量。

同样，我们也可以用这种方法来表示矩阵的列：

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{11}}}&{{A_{12}}}&{{A_{13}}}\\{{A_{21}}}&{{A_{22}}}&{{A_{23}}}\\{{A_{31}}}&{{A_{32}}}&{{A_{33}}}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \uparrow & \uparrow & \uparrow \\{{A_{*,1}}}&{{A_{*,2}}}&{{A_{*,3}}}\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow \end{array}} \right]\]

其中

\[{{\bf{A}}_{*,1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{11}}}\\{{A_{21}}}\\{{A_{31}}}\end{array}} \right],{{\bf{A}}_{*,2}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{12}}}\\{{A_{22}}}\\{{A_{32}}}\end{array}} \right],{{\bf{A}}_{*,3}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{13}}}\\{{A_{23}}}\\{{A_{33}}}\end{array}} \right]\]

在这种记法中，第2个索引指定列标，第1个索引以星号（*）表示我们引用的是整个列向量。

我们现在对矩阵上的判等运算、加法运算、标量乘法运算和减法运算做以定义：

1．当且仅当两个矩阵的对应元素相等时，这两个矩阵相等；这两个矩阵必须具有相同的行数和列数，才能进行比较。

2．矩阵加法是对两个矩阵的对应元素相加；只有在两个矩阵的行数和列数相同的情况下，矩阵加法才有意义。

3．矩阵的标量乘法是将一个标量和矩阵中的每个元素相乘。

4．矩阵减法可以由矩阵加法和标量乘法表示。也就是，A – B = A + (−1 • B) = A + (−B )。

例 2.2

设

\[{\bf{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&5\\{ - 2}&3\end{array}} \right],{\bf{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&2\\5&{ - 8}\end{array}} \right],{\bf{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&5\\{ - 2}&3\end{array}} \right],{\bf{D}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\ - 6\end{array}&\begin{array}{l}1\\3\end{array}&\begin{array}{l} - 3\\0\end{array}\end{array}} \right]\]

则，

（ⅰ）\({\bf{A}} + {\bf{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&5\\{ - 2}&3\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&2\\5&{ - 8}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 6}&{5 + 2}\\{ - 2 + 5}&{3 + ( - 8)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}7&7\\3&{ - 5}\end{array}} \right]\)

（ⅱ）A = C

（ⅲ） \(3{\bf{D}} = 3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\ - 6\end{array}&\begin{array}{l}1\\3\end{array}&\begin{array}{l} - 3\\0\end{array}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3(2)\\3( - 6)\end{array}&\begin{array}{l}3(1)\\3(3)\end{array}&\begin{array}{l}3( - 3)\\3(0)\end{array}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}6\\ - 18\end{array}&\begin{array}{l}3\\9\end{array}&\begin{array}{l} - 9\\0\end{array}\end{array}} \right]\)

（ⅳ）\({\bf{A}} - {\bf{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&5\\{ - 2}&3\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&2\\5&{ - 8}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 6}&{5 - 2}\\{ - 2 - 5}&{3 - ( - 8)}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&3\\{ - 7}&{11}\end{array}} \right]\)

因为矩阵加法和标量乘法是逐元素进行的，所以矩阵也继承了实数的加法和标量乘法的性质：

1．A + B = B + A

2．(A + B ) + C = A + ( B + C)

3．r(A + B ) = rA + rB

4．( r + s )A = rA + sA

发布时间：2014/9/12 下午9:05:23  阅读次数：3741